זהויות מתמטיות: נוסחאות הכפל המקוצר

[mathjax]

מטרות התיק
רקע
הצעה למהלך העבודה
זמני עבודה משוערים
החומרים והעזרים הדרושים – להורדה
פתרונות של תלמידים

מטרות התיק

זה נועד לסייע למורה להעריך את יכולות התלמידים ליצור ולהשתמש בזהויות מתמטיות הנקראות נוסחאות הכפל המקוצר, ולתת מענה לקשיים שמתגלים. התיק עוסק בזהויות:
$latex \displaystyle {{\left( {a + b} \right)}^{2}}= {{a}^{2}}+ 2ab + {{b}^{2}}$ $latex \displaystyle {{\left( {a – b} \right)}^{2}}= {{a}^{2}} – 2ab + {{b}^{2}}$ $latex \displaystyle \left( {a + b} \right)\left( {a -b} \right) = {{a}^{2}}- {{b}^{2}}$
ההערכה והמענה לקשיים מתמקדים ביכולת התלמידים:

- ליצור זהויות מתמטיות המבוססות על נוסחאות הכפל המקוצר.
- להשתמש בנוסחאות הכפל באופן סימטרי.

להשתמש בנוסחאות הכפל בהקשר הכרוך בראייה מבנית של ביטויים אלגבריים.

רקע

במתמטיקה קיימות זהויות מסוגים שונים: זהויות טריגונומטריות, מעריכיות, לוגריתמיות ועוד. אחד השימושים השכיחים בזהויות מתמטיות הוא החלפה של ביטוי אחד בביטוי אחר זהה לו במהלך פתרון בעיה. לדוגמה, אם ידוע הערך של $latex \displaystyle \sin x$, ניתן למצוא בקלות את הערך של $latex \cos x$ בעזרת שימוש בזהות $latex \displaystyle co{{s}^{2}}x=1-si{{n}^{2}}x~$. העיסוק בזהויות מתמטיות במסגרת לימודי האלגברה בחטיבת הביניים כולל זהויות מתמטיות המכונות נוסחאות הכפל המקוצר:
$latex \displaystyle {{\left( {a + b} \right)}^{2}}= {{a}^{2}}+ 2ab + {{b}^{2}}$ $latex \displaystyle {{\left( {a – b} \right)}^{2}}= {{a}^{2}} – 2ab + {{b}^{2}}$ $latex \displaystyle \left( {a + b} \right)\left( {a -b} \right) = {{a}^{2}}- {{b}^{2}}$
לזהויות אלה יש שימוש רב בפתרון בעיות שבהן יש לבצע פעולות אלגבריות מורכבות כמו: פירוק לגורמים, צמצום שברים אלגבריים, פתרון משוואות עם מכנים.

למשל, בצמצום השבר הבא:

$latex \frac{{{{x}^{2}}+8x+16}}{{x+4}}$ $latex \displaystyle \left( {x \ne -4} \right)$

מקבלים:

$latex \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}+8x+16}}{{x+4}}=\frac{{{{{(x+4)}}^{2}}}}{{x+4}}=x+4$ $latex \displaystyle \left( {x \ne -4} \right)$

יש קשיים שונים העולים בהקשר של השימוש בנוסחאות הכפל. בתיק זה נתייחס לקשיים הבאים:

קושי ביצירת זהויות מתמטיות המבוססות על נוסחאות הכפל המקוצר, בהקשר של פתיחת סוגריים. שגיאות אופייניות של תלמידים הן לכתוב כך:

$latex \displaystyle {{\left( {a + b} \right)}^{2}}= {{a}^{2}}+ {{b}^{2}}$ או $latex \displaystyle {{\left( {a-b} \right)}^{2}}= {{a}^{2}}-{{b}^{2}}$.

קושי ביצירת זהויות מתמטיות המבוססות על נוסחאות הכפל המקוצר, בהקשר של פירוק לגורמים. למשל: כאשר יש למצוא את אורכי הצלעות של ריבוע ששטחו מיוצג על ידי הביטוי $latex \displaystyle 16{{x}^{2}}-24x + 9$, יש תלמידים המתקשים להבחין שהביטוי הנתון זהה לביטוי $latex \displaystyle {{\left( {4x-3} \right)}^{2}}$, ולכן הביטוי $latex \displaystyle (x > \frac{3}{4}) 4x – 3$ מייצג את אורך צלע הריבוע.

קושי ביצירה ובשימוש בנוסחאות הכפל, כאשר הם כרוכים בראייה מבנית של ביטויים אלגבריים. למשל:

בפישוט הביטוי $latex \displaystyle {{\left( {4x-1} \right)}^{2}}$, יש תלמידים המתקשים להתייחס לביטוי $latex \text{4}x$, כאילו הוא המשתנה a בנוסחת הכפל $latex \displaystyle {{\left( {a-b} \right)}^{2}}= {{a}^{2}}-2ab + {{b}^{2}}$ או להתייחס לביטוי $latex \displaystyle \left( {4x-1} \right)$ כאילו הוא הביטוי $latex a-b$ באותה הנוסחה.

התיק זהויות מתמטיות: נוסחאות הכפל המקוצר נועד לסייע למורים לזהות תלמידים שיש להם קשיים אלה, ולתת להם מענה.

הצעה למהלך העבודה

צפייה בתיק המלא

עבודה על משימות הערכה:
- משימה 1 יצירת רביעיות.
- משימה 2 לוח כפל.
- משימה 3 נוסחאות בטבלה.
הערכת תוצרי התלמידים.
פעילויות דיפרנציאליות בעקבות ההערכה.