בעיות קיצון – פונקציית המטרה

• מטרות התיק
• רקע
• הצעה למהלך העבודה
• זמני עבודה משוערים
• החומרים והעזרים הדרושים – להורדה
• פתרונות של תלמידים

 

 מטרות התיק

לסייע למורה להעריך את יכולת התלמידים לבנות את פונקציית המטרה בבעיות קיצון. התיק עוסק בשטחי מלבנים.

ההערכה והמענה לקשיים מתמקדים ביכולת התלמידים:

• לבנות את פונקציית המטרה המתאימה לבעיית קיצון שבה יש לחשב שטח באמצעות חיבור או חיסור של שטחי מלבנים. כלומר,
  • למצוא את תחום ההגדרה של פונקציית המטרה,
  • לבנות את חוק ההתאמה של פונקציית המטרה.
• להשתמש באסטרטגיות מגוונות לבניית חוק ההתאמה של פונקציית המטרה.

 רקע

האפשרות למצוא את התוצאה המתאימה ביותר מבין מגוון תוצאות אפשריות לבעיה נתונה, מראה את כוחה ועוצמתה של המתמטיקה. החשבון הדיפרנציאלי הוא אחד הכלים המרכזיים בהשגת מטרה זו. הדבר בא לידי ביטוי ברור בנושא של פתרון בעיות ערך קיצון. בעיות כאלה שיש להן קשר ברור למציאות, מעמיקות את הבנת הנושא כולו.

שלב מרכזי בפתרון של בעיות קיצון כולל בנייה של פונקציית מטרה. בנייה זו כוללת מציאה של שני רכיבים: תחום ההגדרה וחוק ההתאמה. מציאת רכיבים אלה של פונקציית המטרה מציבה קשיים מסוגים שונים בפני תלמידים.

מציאת חוק ההתאמה כרוכה בבניית ביטוי אלגברי המתאים לבעיה מילולית. דבר זה מהווה קושי כבר מתחילת לימוד האלגברה. הקושי גובר כשיש צורך לשלב בין ייצוגים שונים (מילולי, גיאומטרי ואלגברי), כמו במקרה של בעיות העוסקות במציאת שטחים, אשר תופסות חלק מרכזי במהלך הלימודים של הנושא בעיות קיצון. הקשיים של תלמידים בבניית חוק ההתאמה של פונקציית המטרה קשורים לעתים קרובות גם לצורך בשימוש באסטרטגיות מגוונות. לדוגמה, מציאת חוק ההתאמה של פונקציית המטרה במקרה של בעיות העוסקות במציאת שטחים מצריך ביצוע מגוון מניפולציות על צורות ועל השטחים שלהן כמודגם להלן:

• חיבור וחיסור שטחים או כפל שטח במספר כאשר יש מספר שטחים שווים,
• חלוקת צורה מורכבת לחלקים שקל לחשב את שטחם,
• הרכבת צורות מורכבות לצורה שקל לחשב את שטחה,
• חלוקת צורה סימטרית בציר הסימטריה כדי לכפול את חצי השטח ב- 2

בעוד שקשיי התלמידים במציאת חוק ההתאמה של פונקציית מטרה קשורים בדרך כלל לתהליך בנייה של ביטוי אלגברי מתאים לנתוני הבעיה, במקרה של מציאת תחום ההגדרה של פונקציית המטרה קושי מרכזי הוא חוסר התייחסות של תלמידים לרכיב זה כרלוונטי לפונקציית המטרה או לפתרון הבעיה. כתיבת התחום היא בעצם כתיבת נתוני הבעיה. אולם תלמידים רבים אינם רושמים כלל את תחום ההגדרה של פונקציית המטרה בבעיות קיצון ולעתים קרובות מתעלמים ממנו במהלך הפתרון אפילו כשהוא רשום. הדבר קשור כנראה לעיסוק רחב במהלך הלימודים בפונקציות פולינום שאינן קשורות לסיטואציה ותחומן הוא R .

התיק בעיות קיצון – פונקציית המטרה עוסק בשטחי מלבנים. התיק נועד לסייע למורה לזהות תלמידים שיש להם קשיים בבניית פונקציית המטרה בבעיות קיצון מסוג זה, ולתת להם מענה.

 הצעה למהלך העבודה

צפייה בתיק המלא

• עבודה על משימות ההערכה:
  • משימה 1 מהי פונקציית המטרה?
  • משימה 2 שלוש פונקציות מטרה.
• הערכת תוצרי התלמידים.
• פעילויות דיפרנציאליות בעקבות ההערכה.

 זמני עבודה משוערים

• עבודה על משימות ההערכה: 20-30 דקות.
• פעילויות בעקבות ההערכה: 45 דקות.

 החומרים והעזרים הדרושים

לצורך העבודה על משימות ההערכה (לכל תלמיד/ה):

• דפי המשימות
  • דף משימה 1 מהי פונקציית המטרה?
  • דף משימה 2 שלוש פונקציות מטרה.

לצורך הערכת תוצרי התלמידים:

• טבלת הערכה.

לצורך הפעילויות בעקבות ההערכה:
לפעילות 1

• דף פעילות 1 אפשרויות שונות (לכל תלמיד/ה).
• יישומון גיאוגברה התחום.
• דף פעילות 2 מהו התחום? (לכל תלמיד/ה).

לפעילות 2

• דף פעילות 3 אסטרטגיות לבניית חוק ההתאמה (לכל תלמיד/ה).
• דף פעילות 4 חיבור או חיסור? (לכל תלמיד/ה).